微分について

微分とは、わかりやすくいえば、関数のグラフの傾きを求めるものである。

関数のグラフの傾きは、ｙ＝ｆ（ｘ）において、
ｘを微小増加させた値、ｙ’＝ｆ（ｘ＋�凾�）との差
�凾凵≠凵f−ｙを�凾�で割ることにより求められる。

つまり、�凾凵^�凾�＝（ｆ（ｘ＋�凾�）−ｆ（ｘ））／�凾�において、
�凾�を極限まで小さくした場合の値である。

１．二次関数　ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ　について微分をしてみる。
　　　　　　　ｙ’＝ａ（ｘ＋�凾�）^２＋ｂ（ｘ＋�凾�）＋ｃ　とし、

�凾凵≠凵f−ｙ＝（ａ（ｘ＋�凾�）^２＋ｂ（ｘ＋�凾�）＋ｃ）−（ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ）
　　　　　　　＝ａｘ^２＋２ａｘ�凾�＋ａ�凾�^２＋ｂｘ＋ｂ�凾�＋ｃ−ａｘ^２−ｂｘ−ｃ
　　　　　　　＝２ａｘ�凾�＋ａ�凾�^２＋ｂ�凾�

上式を�凾�で割る。

�凾凵^�凾�＝２ａｘ�凾�／�凾�＋ａ�凾�^２／�凾�＋ｂ�凾�／�凾�
　　　　　＝２ａｘ＋ａ�凾�＋ｂ

�凾�を極限までゼロに近付けると、ａ�凾�＝０とみなせるので、
�凾凵≠р凵A�凾�＝ｄｘと表現して、下記の式が得られる。

∴ｄｙ／ｄｘ＝２ａｘ＋ｂ

２．三角関数　ｙ＝ｓｉｎｘを微分してみる。

�凾凵^�凾�＝（ｓｉｎ（ｘ＋�凾�）−ｓｉｎｘ）／�凾�

三角関数の加法定理ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ　を利用し、

�凾凵^�凾�＝（ｓｉｎｘｃｏｓ�凾�＋ｃｏｓｘｓｉｎ�凾�−ｓｉｎｘ）／�凾�
　　　　　＝（ｓｉｎｘ（ｃｏｓ�凾�−１）＋ｃｏｓｘｓｉｎ�凾�）／�凾�

上式第一項の分母分子に（ｃｏｓ�凾�＋１）をかける。

�凾凵^�凾�＝（ｓｉｎｘ（ｃｏｓ^２�凾�−１）／（ｃｏｓ�凾�＋１）＋ｃｏｓｘｓｉｎ�凾�）／�凾�

ｓｉｎ^２α＋ｃｏｓ^２α＝１より、ｃｏｓ^２α−１＝−ｓｉｎ^２αを上式に代入し、

�凾凵^�凾�＝（ｓｉｎｘ（−ｓｉｎ^２�凾�）／（ｃｏｓ�凾�＋１）＋ｃｏｓｘｓｉｎ�凾�）／�凾�
　　　　　＝ｓｉｎ�凾�／�凾�（−ｓｉｎｘｓｉｎ�凾�／（ｃｏｓ�凾�＋１）＋ｃｏｓｘ）

�凾�を極限までゼロに近付けると、ｓｉｎ�凾�＝０、ｃｏｓ�凾�＝１とみなせる。
さらに、�凾�がゼロ付近においては、ｓｉｎ�凾�＝�凾�と近似できるため、ｓｉｎ�凾�／�凾�＝１となり、

�凾凵^�凾�＝１・（−ｓｉｎｘ・０／（１＋１）＋ｃｏｓｘ）
　　　　　＝ｃｏｓｘ

∴ｄｙ／ｄｘ＝ｃｏｓｘ

３．指数関数　ｙ＝ｅ^ｘを微分してみる。（ｅは、自然対数の底でｅ＝２．７１８２８．．．の無理数である。）

�凾凵^�凾�＝（ｅ^{（ｘ＋�凾�）}−ｅ^ｘ）／�凾�
　　　　　＝ｅ^ｘ（ｅ^�凾�−１）／�凾�

ここで、�凾�がゼロ付近においては、ｅ^�凾�＝１＋�凾�と近似できるため、

�凾凵^�凾�＝ｅ^ｘ（１＋�凾�−１）／�凾�
　　　　　＝ｅ^ｘ（�凾�／�凾�）
　　　　　＝ｅ^ｘ

∴ｄｙ／ｄｘ＝ｅ^ｘ

４．対数関数　ｙ＝ｌｏｇ_ｅｘを微分してみる。

�凾凵^�凾�＝（ｌｏｇ_ｅ（ｘ＋�凾�）−ｌｏｇ_ｅｘ）／�凾�
　　　　　＝（ｌｏｇ_ｅ（（ｘ＋�凾�）／ｘ）／�凾�
　　　　　＝（１／�凾�）・ｌｏｇ_ｅ（１＋�凾�／ｘ）

�凾�＝ｘｔとおき、�凾�→０とするとき、ｔ→０とおけるので、

�凾凵^�凾�＝ｌｉｍ_ｔ→０（１／ｘｔ）・ｌｏｇ_ｅ（１＋ｔ）
　　　　　＝ｌｉｍ_ｔ→０（１／ｘ）・ｌｏｇ_ｅ（１＋ｔ）^{（１／ｔ）}

ｔを限りなくゼロに近付けた場合、（１＋ｔ）^{（１／ｔ）}は、値ｅに収束する。

�凾凵^�凾�＝（１／ｘ）・ｌｏｇ_ｅｅ

ここで、ｌｏｇ_ｅｅ＝１となるので、

∴ｄｙ／ｄｘ＝１／ｘ

５．指数関数　ｙ＝ａ^ｘを微分してみる。

ｙ＝ａ^ｘ＝ｅ^{ｌｏｇ_ｅａｘ}＝ｅ^{ｘｌｏｇ_ｅａ}

�凾凵^�凾�＝（ｅ^{（ｘ＋�凾�）ｌｏｇ_ｅａ}−ｅ^{ｘｌｏｇ_ｅａ}）／�凾�
　　　　　＝ｅ^{ｘｌｏｇ_ｅａ}（ｅ^{�凾�ｌｏｇ_ｅａ}−１）／�凾�

分母分子に、ｌｏｇ_ｅａをかける。

�凾凵^�凾�＝ｌｏｇ_ｅａ・ｅ^{ｘｌｏｇ_ｅａ}・（ｅ^{�凾�ｌｏｇ_ｅａ}−１）／（�凾�ｌｏｇ_ｅａ）

�凾�ｌｏｇ_ｅａ＝ｔとおくと、�凾�→０でｔ→０となるため、

�凾凵^�凾�＝ｌｉｍ_ｔ→０ｌｏｇ_ｅａ・ｅ^{ｘｌｏｇ_ｅａ}・（ｅ^ｔ−１）／ｔ
　　　　　＝ｌｏｇ_ｅａ・ｅ^{ｘｌｏｇ_ｅａ}・１
　　　　　＝ｌｏｇ_ｅａ・ａ^ｘ

∴ｄｙ／ｄｘ＝ｌｏｇ_ｅａ・ａ^ｘ

６．対数関数　ｙ＝ｌｏｇ_ａｘを微分してみる。

�凾凵^�凾�＝（ｌｏｇ_ａ（ｘ＋�凾�）−ｌｏｇ_ａｘ）／�凾�
　　　　　＝ｌｏｇ_ａ（（ｘ＋�凾�）／ｘ）／�凾�
　　　　　＝ｌｏｇ_ａ（１＋�凾�／ｘ）／�凾�

�凾�＝xｔとおくと、�凾�→０で、ｔ→０となるため、

�凾凵^�凾�＝ｌｉｍ_ｔ→０（ｌｏｇ_ａ（１＋ｔ））／ｘｔ
　　　　　＝ｌｉｍ_ｔ→０１／ｘ・ｌｏｇ_ａ（１＋ｔ）^{（１／ｔ）}
　　　　　＝１／ｘ・ｌｏｇ_ａｅ
　　　　　＝１／ｘ・ｌｏｇ_ｅｅ／ｌｏｇ_ｅａ
　　　　　＝１／ｘ・１／ｌｏｇ_ｅａ

∴ｄｙ／ｄｘ＝１／（ｘｌｏｇ_ｅａ）

関数ｙ＝ｆ（ｘ）において、ｆ（ｘ）＝０となるｘの値は、グラフのｘ軸の交点である。

いっぽう、微分をおこなった関数ｄｙ／ｄｘ＝ｆ’（ｘ）においては、
ｆ’（ｘ）＝０となるｘの値は、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの傾きがゼロ（水平）になる点、
すなわち、グラフの極大、または極小となる点が得られる。

さらに微分をおこなうと（２回微分）、ｄ^２ｙ／ｄｘ^２＝ｆ’’（ｘ）においては、
ｆ’’（ｘ）＝０となるｘの値は、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの傾きが、増加から減少または、減少から増加へと変わる点、
すなわち、変曲点が得られる。