複素平面の単位円を回転するベクトルは、
ｊ２＝−１とすると、
（電気の計算では、”ｉ”は、電流を表すため、虚数は、”ｊ”と表記する。）
（”ｅ”は、自然対数の底で、電気の計算では、電圧と区別するため”ε”と表記する場合もある。）
ｅｊθ＝ｃｏｓθ＋ｊｓｉｎθ・・・（１）
”θ”を、時間の関数にするため、”ω”を用いる。
（”ω”は角速度。単位＝ｒａｄ／ｓ：ラジアン毎秒）
ω＝２πｆ。ここで、”ｆ”は、周波数（単位＝Ｈｚ：ヘルツ）とする。
あらためて、θ＝ωｔとおくと、回転ベクトルは次のように書ける。
ｅｊωｔ＝ｃｏｓωｔ＋ｊｓｉｎωｔ・・・（２）
下図の電気回路の、電圧平衡式は、
Ｖ＝Ｒ・Ｉ＋Ｌ・ｄＩ／ｄｔ＋１／Ｃ・∫Ｉｄｔ・・・（３）
上記（２）式を用いて交流電流を回転ベクトルで表現し、
”Ｉｍ”を電流の大きさとすると、Ｉ＝Ｉｍ・ｅｊωｔ
これを、（３）式に代入すると、
Ｖ＝Ｒ・Ｉｍ・ｅｊωｔ＋Ｌ・ｄ／ｄｔ・Ｉｍ・ｅｊωｔ＋１／Ｃ・∫Ｉｍ・ｅｊωｔｄｔ・・・（４）
ｅｊωｔを”ｔ”で微分すると、ｊω・ｅｊωｔ
ｅｊωｔを”ｔ”で積分すると、１／ｊω・ｅｊωｔ
したがって、（４）式は、次のようになる。
Ｖ＝Ｒ・Ｉｍ・ｅｊωｔ＋ｊωＬ・Ｉｍ・ｅｊωｔ＋１／ｊωＣ・Ｉｍ・ｅｊωｔ・・・（５）
（４）式の、微分および積分は、虚数”ｊ”を用いることにより、上記（５）式の通りとなり、
交流電気回路の計算が、代数計算で簡単に行うことができるようになる。
ここで、実数は有効電圧または電流（実際に、回路に流れる電流または電圧）、
虚数は無効電圧または電流（回路に蓄えられるエネルギ）を表すことになる。
また、次のように（５）式を、Ｉｍ・ｅｊωｔでまとめれば、
Ｖ＝（Ｒ＋（ｊωＬ＋１／ｊωＣ））Ｉｍ・ｅｊωｔ・・・（６）
上記（６）式の係数は、虚数”ｊ”をまとめれば、
Ｚ＝Ｒ＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）・・・（７）
電気回路の電圧平衡式（３）は、（６）（７）式により、
Ｖ＝ＺＩ・・・（８）
となり、交流電気回路でも、オームの法則が成り立っていることがわかる。
（７）式の”Ｚ”は、インピーダンスとよび、交流抵抗を示す。
”Ｚ”は、複素数であるため、その大きさを求める場合、次の通り絶対値をとる。
｜Ｚ｜＝√（Ｒ２＋（ωＬ−１／ωＣ）２）
ωＬ−１／ωＣ＝０となるように、コイルのインダクタンス”Ｌ”（単位＝Ｈ：ヘンリー）
またはコンデンサのキャパシタンス”Ｃ”（単位＝Ｆ：ファラド）を定めれば、
インピーダンス”Ｚ”は、周波数と無関係になる。
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（１）式は、下記のように求める。
ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄを微分していく。
ｆ’（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ
ｆ’’（ｘ）＝３・２ａｘ＋２・１ｂ
ｆ’’’（ｘ）＝３・２・１ａ
上式に、ｘ＝０を代入すると、各項の係数が求められる。
一般化して、以下の式が書ける。
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆ’（０）ｘ＋１／（２×１）×ｆ’’（０）ｘ２＋１／（３×２×１）×ｆ’’’（０）ｘ３＋・・・＋１／ｎ！×ｆｎ（０）ｘｎ
これを、ｅｘ、ｃｏｓｘ、ｓｉｎｘ、にあてはめる。
ｄ／ｄｘ・ｅｘ＝ｅｘ
ｄ／ｄｘ・ｃｏｓｘ＝−ｓｉｎｘ
ｄ／ｄｘ・ｓｉｎｘ＝ｃｏｓｘ
であるから、
ｅｘ＝１＋ｘ＋（１／２）ｘ２＋（１／６）ｘ３＋（１／２４）ｘ４＋（１／１２０）ｘ５・・・・
ｃｏｓｘ＝１−（１／２）ｘ２＋（１／２４）ｘ４＋・・・・
ｓｉｎｘ＝ｘ−（１／６）ｘ３＋（１／１２０）ｘ５＋・・・・
マイナスを合わせるため、”ｊ”を用いる。
ｊｓｉｎｘ＝ｊｘ−ｊ（１／６）ｘ３＋ｊ（１／１２０）ｘ５＋・・・・
ｅｊｘ＝１＋ｊｘ−（１／２）ｘ２−ｊ（１／６）ｘ３＋（１／２４）ｘ４＋ｊ（１／１２０）ｘ５・・・・
したがって、
ｅｊｘ＝ｃｏｓｘ＋ｊｓｉｎｘ
が成り立つ。